Transformation triangle => carré

Transformer un triangle en carré par la méthode générale serait assez long et peu élégant. Voici donc une méthode un poil plus courte.

Le problème est des plus simples : comment découper un triangle pour obtenir un carré de même aire ?
Pour cela, on peut adopter la démarche suivante :

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Transformation triangle => parallélogramme

Il suffit de couper le triangle à mi-hauteur, parallèlement à un de ses côtés :

Transformation d'un triangle en parallélogramme

Changement de parallélogramme

Soit un parallélogramme d'aire S. Alors, à partir de l'un de ses sommets, on peut couper selon un segment (en pointillés sur le dessin) de longeur L = racine(S), de façon à obtenir un parallélogamme dont l'un des côtés est de longueur L :

Transformation d'un parallélogramme en losange

Transformation parallélogramme=>carré

On suppose que le parallélogramme de départ a un côté de même longueur L que celui du carré à obtenir (si ce n'est pas le cas, on fait comme dans la section ci-dessus). Tournons le parallélogramme de façon à se que sa base soit ce côté de longueur L.

S'il existe un sommet (n'appartenant pas à la base !) dont le projeté orthogonal appartient à la base, il suffit de découper en suivant la hauteur issue de ce sommet :

Transformation d'un losange en carré

Si un tel sommet n'existe pas, on fait autant de coupes parallèles à la base que necessaire, pour se ramener au cas précédent :

Transformation d'un losange en carré après saucissonage

D'ailleurs, on peut prouver que l'on obtient bien un carré : en effet, la base du parallélogramme a pour longueur L. Or un carré, de côté L, a la même aire L*L que le parallélogramme. Ce qui entraîne que la hauteur du parallélogramme est L.
On obtient donc, après la transformation décrite dans le schéma, un rectangle de base L et de hauteur L.
C'est donc un carré CQFD.

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Conclusion

Nous avons montré qu'on peut transformer n'importe quel triangle en un carré d'aire égale.
Le découpage se fait en un nombre fini de morceaux, pour la même raison qu'à la page précédente (puisque toutes les coupes sont rectilignes).

Transformation triangle=>triangle

On peut d'ailleurs en déduire une transformation d'un triangle en un autre, par superposition de découpages :


Considérons deux triangles A et B d'aires égales. Comment découper l'un de façon à reconstituer l'autre ?
Cela peut se faire en plusieurs étapes (je ne dis pas qu'il n'y a pas de solution plus élégante), en utilisant une forme intermédiaire C.
En effet, si on trouve un découpage qui permette de transformer A en C, et un autre qui transforme C en B, il suffit de superposer les deux découpages, pour pouvoir passer de A à C, comme dans la figure ci-dessous.

Superposition de découpages

En l'occurrence, on prend, en guise de forme C, un carré d'aire S.

Remarque: Qu'est-ce qui prouve que la superposition des deux découpages (comportant un nombre fini de pièces convexes) donne un nombre fini de pièces convexes ? C'est encore la convexité. Comme l'intersection de deux pièces convexes est une pièce convexe unique ou est vide, on obtient au plus a*b pièces convexes (en notant a et b le nombre des pièces de chaque découpage)

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Découpages élégants

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