.. title: Transformation triangle => carré
:name: transformation-triangle-carré
.. _sommaire:
.. _tri_to_carre:
Transformer un triangle en carré par la méthode générale serait assez
long et peu élégant. Voici donc une méthode un poil plus courte.
| Le problème est des plus simples : comment découper un triangle pour
obtenir un carré de même aire ?
| Pour cela, on peut adopter la démarche suivante :
- `Transformer le triangle en parallélogramme <#tri_to_parall>`__
- `Transformer le parallélogramme en un autre
parallélogramme <#change_parall>`__, dont l'un des côtés est celui du
carré à obtenir.
- `Découper ce dernier parallélogramme <#parall_to_carre>`__ pour
obtenir le carré recherché.
- `Découpages élégants <#plusloin>`__
`Page précédente <./index.html>`__
.. _tri_to_parall:
Transformation triangle => parallélogramme
------------------------------------------
Il suffit de couper le triangle à mi-hauteur, parallèlement à un de ses
côtés :
.. raw:: html
|Transformation d'un triangle en parallélogramme|
.. raw:: html
.. _change_parall:
Changement de parallélogramme
-----------------------------
Soit un parallélogramme d'aire S. Alors, à partir de l'un de ses
sommets, on peut couper selon un segment (en pointillés sur le dessin)
de longeur L = racine(S), de façon à obtenir un parallélogamme dont l'un
des côtés est de longueur L :
.. raw:: html
|Transformation d'un parallélogramme en losange|
.. raw:: html
.. _parall_to_carre:
Transformation parallélogramme=>carré
-------------------------------------
On suppose que le parallélogramme de départ a un côté de même longueur L
que celui du carré à obtenir (si ce n'est pas le cas, on fait comme dans
la section ci-dessus). Tournons le parallélogramme de façon à se que sa
base soit ce côté de longueur L.
S'il existe un sommet (n'appartenant pas à la base !) dont le projeté
orthogonal appartient à la base, il suffit de découper en suivant la
hauteur issue de ce sommet :
.. raw:: html
|Transformation d'un losange en carré|
.. raw:: html
Si un tel sommet n'existe pas, on fait autant de coupes parallèles à la
base que necessaire, pour se ramener au cas précédent :
.. raw:: html
|Transformation d'un losange en carré après saucissonage|
.. raw:: html
| D'ailleurs, on peut prouver que l'on obtient bien un carré : en effet,
la base du parallélogramme a pour longueur L. Or un carré, de côté L,
a la même aire L*L que le parallélogramme. Ce qui entraîne que la
hauteur du parallélogramme est L.
| On obtient donc, après la transformation décrite dans le schéma, un
rectangle de base L et de hauteur L.
| C'est donc un carré CQFD.
`Sommaire de la page <#sommaire>`__, `sommaire de la
section <#tri_to_carre>`__
.. _conclusion:
Conclusion
----------
| Nous avons montré qu'on peut transformer n'importe quel triangle en un
carré d'aire égale.
| Le découpage se fait en un nombre fini de morceaux, pour la même
raison qu'à la `page précédente <./index.html>`__ (puisque toutes les
coupes sont rectilignes).
.. _tri_to_tri:
Transformation triangle=>triangle
---------------------------------
On peut d'ailleurs en déduire une transformation d'un triangle en un
autre, par superposition de découpages :
|
| Considérons deux triangles A et B d'aires égales. Comment découper
l'un de façon à reconstituer l'autre ?
| Cela peut se faire en plusieurs étapes (je ne dis pas qu'il n'y a pas
de solution plus élégante), en utilisant une forme intermédiaire C.
| En effet, si on trouve un découpage qui permette de transformer A en
C, et un autre qui transforme C en B, il suffit de superposer les deux
découpages, pour pouvoir passer de A à C, comme dans la figure
ci-dessous.
.. raw:: html
|Superposition de découpages|
.. raw:: html
En l'occurrence, on prend, en guise de forme C, un carré d'aire S.
**Remarque:** Qu'est-ce qui prouve que la superposition des deux
découpages (comportant un nombre fini de pièces convexes) donne un
nombre fini de pièces convexes ? C'est encore la convexité. Comme
l'intersection de deux pièces convexes est une pièce convexe unique ou
est vide, on obtient au plus a*b pièces convexes (en notant a et b le
nombre des pièces de chaque découpage)
`Retour sommaire <#sommaire>`__
.. _plusloin:
Découpages élégants
-------------------
* Cette transformation peut, en particulier, être appliquée pour
transformer un triangle équilatéral en un carré (Je ferai un dessin
quand j'aurai le temps...).
* Mais on peut faire bien plus élégant.
* Henri Dudeney a trouvé un tel découpage en seulement 4 pièces, que
vous pouvez admirer sur :
* http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Panoplie/Dissect/dudeney.htm
* Vous en trouverez aussi une animation sur un très joli site:
http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/dudeney_tr.htm
`Sommaire <#sommaire>`__ , `Retour à la méthode générale <./index.html>`__
.. |Transformation d'un triangle en parallélogramme| image:: triangle_to_parall.GIF
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.. |Transformation d'un parallélogramme en losange| image:: paral_to_losange.GIF
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:height: 80px
.. |Transformation d'un losange en carré| image:: losange_to_carre1.GIF
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.. |Transformation d'un losange en carré après saucissonage| image:: losange_to_carre2.GIF
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.. |Superposition de découpages| image:: superposition.GIF
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