.. title: Transformation triangle => carré
   :name: transformation-triangle-carré

.. _sommaire:
.. _tri_to_carre:

Transformer un triangle en carré par la méthode générale serait assez
long et peu élégant. Voici donc une méthode un poil plus courte.

| Le problème est des plus simples : comment découper un triangle pour
  obtenir un carré de même aire ?
| Pour cela, on peut adopter la démarche suivante :

-  `Transformer le triangle en parallélogramme <#tri_to_parall>`__
-  `Transformer le parallélogramme en un autre
   parallélogramme <#change_parall>`__, dont l'un des côtés est celui du
   carré à obtenir.
-  `Découper ce dernier parallélogramme <#parall_to_carre>`__ pour
   obtenir le carré recherché.
-  `Découpages élégants <#plusloin>`__

`Page précédente <./index.html>`__

.. _tri_to_parall:

Transformation triangle => parallélogramme
------------------------------------------

Il suffit de couper le triangle à mi-hauteur, parallèlement à un de ses
côtés :

.. raw:: html

   <div class="centre">

|Transformation d'un triangle en parallélogramme|

.. raw:: html

   </div>

.. _change_parall:

Changement de parallélogramme
-----------------------------

Soit un parallélogramme d'aire S. Alors, à partir de l'un de ses
sommets, on peut couper selon un segment (en pointillés sur le dessin)
de longeur L = racine(S), de façon à obtenir un parallélogamme dont l'un
des côtés est de longueur L :

.. raw:: html

   <div class="centre">

|Transformation d'un parallélogramme en losange|

.. raw:: html

   </div>

.. _parall_to_carre:

Transformation parallélogramme=>carré
-------------------------------------

On suppose que le parallélogramme de départ a un côté de même longueur L
que celui du carré à obtenir (si ce n'est pas le cas, on fait comme dans
la section ci-dessus). Tournons le parallélogramme de façon à se que sa
base soit ce côté de longueur L.

S'il existe un sommet (n'appartenant pas à la base !) dont le projeté
orthogonal appartient à la base, il suffit de découper en suivant la
hauteur issue de ce sommet :

.. raw:: html

   <div class="centre">

|Transformation d'un losange en carré|

.. raw:: html

   </div>

Si un tel sommet n'existe pas, on fait autant de coupes parallèles à la
base que necessaire, pour se ramener au cas précédent :

.. raw:: html

   <div class="centre">

|Transformation d'un losange en carré après saucissonage|

.. raw:: html

   </div>

| D'ailleurs, on peut prouver que l'on obtient bien un carré : en effet,
  la base du parallélogramme a pour longueur L. Or un carré, de côté L,
  a la même aire L*L que le parallélogramme. Ce qui entraîne que la
  hauteur du parallélogramme est L.
| On obtient donc, après la transformation décrite dans le schéma, un
  rectangle de base L et de hauteur L.
| C'est donc un carré CQFD.

`Sommaire de la page <#sommaire>`__, `sommaire de la
section <#tri_to_carre>`__

.. _conclusion:

Conclusion
----------

| Nous avons montré qu'on peut transformer n'importe quel triangle en un
  carré d'aire égale.
| Le découpage se fait en un nombre fini de morceaux, pour la même
  raison qu'à la `page précédente <./index.html>`__ (puisque toutes les
  coupes sont rectilignes).

.. _tri_to_tri:

Transformation triangle=>triangle
---------------------------------

On peut d'ailleurs en déduire une transformation d'un triangle en un
autre, par superposition de découpages :

| 
| Considérons deux triangles A et B d'aires égales. Comment découper
  l'un de façon à reconstituer l'autre ?

| Cela peut se faire en plusieurs étapes (je ne dis pas qu'il n'y a pas
  de solution plus élégante), en utilisant une forme intermédiaire C.
| En effet, si on trouve un découpage qui permette de transformer A en
  C, et un autre qui transforme C en B, il suffit de superposer les deux
  découpages, pour pouvoir passer de A à C, comme dans la figure
  ci-dessous.

.. raw:: html

   <div class="centre">

|Superposition de découpages|

.. raw:: html

   </div>

En l'occurrence, on prend, en guise de forme C, un carré d'aire S.

**Remarque:** Qu'est-ce qui prouve que la superposition des deux
découpages (comportant un nombre fini de pièces convexes) donne un
nombre fini de pièces convexes ? C'est encore la convexité. Comme
l'intersection de deux pièces convexes est une pièce convexe unique ou
est vide, on obtient au plus a*b pièces convexes (en notant a et b le
nombre des pièces de chaque découpage)

`Retour sommaire <#sommaire>`__

.. _plusloin:

Découpages élégants
-------------------

* Cette transformation peut, en particulier, être appliquée pour
  transformer un triangle équilatéral en un carré (Je ferai un dessin
  quand j'aurai le temps...).
* Mais on peut faire bien plus élégant.

* Henri Dudeney a trouvé un tel découpage en seulement 4 pièces, que
  vous pouvez admirer sur :
* http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Panoplie/Dissect/dudeney.htm
* Vous en trouverez aussi une animation sur un très joli site:
  http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/dudeney_tr.htm

`Sommaire <#sommaire>`__ , `Retour à la méthode générale <./index.html>`__

.. |Transformation d'un triangle en parallélogramme| image:: triangle_to_parall.GIF
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.. |Transformation d'un parallélogramme en losange| image:: paral_to_losange.GIF
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   :height: 80px
.. |Transformation d'un losange en carré| image:: losange_to_carre1.GIF
   :width: 350px
   :height: 100px
.. |Transformation d'un losange en carré après saucissonage| image:: losange_to_carre2.GIF
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.. |Superposition de découpages| image:: superposition.GIF
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.. |Valid XHTML 1.0 Strict| image:: ../images/valid-xhtml10.png
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