Logique
Un peu de logique
Programme des réjouissances
- Quelques conventions et définitions
- Enigme des marins
- Enigme de l'interrogation surprise
- Enigme des coffrets
- Comment démontrer n'importe-quoi
- L'île des sincères et des menteurs
Conventions et définitions
Naturellement, ceux qui possèdent des rudiments de logique peuvent passer sans remords aux autres parties :
A ou B :
B = vrai | B = faux | |
A = vrai | vrai | vrai |
A = faux | vrai | faux |
A et B
B = vrai | B = faux | |
A = vrai | vrai | faux |
A = faux | faux | faux |
non( A) :
A | non( A ) |
A = vrai | faux |
A = faux | vrai |
Enfin, la table de vérité de la relation "implique" est un peu moins intuitive :
A implique B :
B = vrai | B = faux | |
A = vrai | vrai | faux |
A = faux | vrai | vrai |
Le côté artificiel de cette définition vient de ce qu'elle n'a aucun rapport avec les notions de cause et d'effet. On peut néanmoins justifier cette définition par les arguments suivants : si A est vraie et si B ne l'est pas, ceci prouve par l'exemple que A n'implique pas B. Inversement, si A et B sont vraies, la notion intuitive de l'implication est confirmée. Enfin, si A est fausse, rien ne permet de dire qu'elle n'implique pas B, au sens intuitif du terme.
A équivaut à
B = vrai | B = faux | |
A = vrai | vrai | faux |
A = faux | faux | vrai |
Propriétés élémentaires
Tout d'abord, "et" et "ou" sont commutatives, c'est-à-dire :
( A et B ) = ( B et A ) ( A ou B ) = ( B ou A )
Ensuite, "et" est distributif sur "ou" et vice-versa, c'est-à-dire :
A et ( B ou C ) = ( A et B ) ou ( A et C ) A ou ( B et C ) = ( A ou B ) et ( A ou C )
Voici comment nier une proposition :
non( A et B ) = ( non(A) ou non(B) ) non( A ou B ) = ( non(A) et non(B) )
Enfin, il découle directement de la définition de l'implication :
( A implique B ) = ( non(A) ou B )
Enigme des marins :
Trois marins entrent dans un bar, et chacun commande une bière à dix francs. Après avoir payé, ils regrettent néanmoins le prix élevé des boissons. Le patron compatissant ordonne alors au serveur de leur rendre 5 F. Mais le serveur garde deux francs en guise de pourboire, et il rend un franc à chaque marin.
Faisons les comptes : chaque marin a payé sa bière neuf francs, ce qui fait vingt-sept francs. De plus, le garçon s'est mis deux francs dans les poches. Au total, cela fait donc vingt-neuf francs.
Où est passé le trentième franc ?
Solution :
Remarquons tout d'abord qu'il est absurde de chercher un trentième franc car, le serveur leur ayant rendu trois francs, les marins n'ont payé, en tout, que 27 francs. Il ne manque donc pas un franc, mais il y a, au contraire, 2 francs en trop dans nos comptes.
L'erreur vient de ce que les bières n'ont pas coûté 27 francs mais 25 : c'est la somme qui reste dans la caisse du patron après qu'il ait donné au serveur les 5 francs à rendre. Les 27 francs que l'on avait comptés comprennent donc les trois bières ET le pourboire du serveur. On avait donc compté 2 fois le pourboire, ce qui conduisait au résultat erronné de 29 francs.
Enigme de l'interrogation surprise
C'est une classe où un professeur excédé par le chahut de ses élèves leur déclare brusquement : * "vous aurez une interrogation écrite la semaine prochaine, et je peux vous dire que, pas un instant à l'avance, vous ne pourrez prévoir avec certitude le jour où elle tombera."*
A la fin du cours, les élèves tentent malgré tout de deviner la date fatidique, et ils tiennent le raisonnement suivant :
Malheureusement pour eux, ils sont bien surpris le mercredi, lorsqu'on leur ordonne de ranger leurs notes de cours et de sortir une feuille de papier. Aucun d'eux ne l'a prévu, bien sûr, et leur beau raisonnement comporte une lacune. Laquelle ?
N.B : On suppose que les élèves ont cours tous les jours, du Lundi au Samedi inclus.
Solution ( Partielle )
Le fait d'avoir décelé une contradiction dans les paroles du professeur ne permet pas aux élèves de prédire le jour de l'interrogation.
Remarquons une chose : si le professeur avait tu le fait qu'ils ne pourraient rien prévoir à l'avance, tout en prévoyant en secret de mettre le contrôle un jour quelconque entre Lundi et Vendredi inclus, les élèves n'auraient eu en effet aucun moyen de prévoir la date.
Ce type de contradiction ne relève pas de la logique du premier ordre, et il est fort difficile à mettre en évidence à l'aide des mots du langage courant.
Je risque cependant une comparaison avec le fameux paradoxe que constitue la phrase : "Cette phrase est fausse". Si on la suppose vraie ( comme les élèves l'ont fait ), on en déduit qu'elle est fausse ( conclusion des élèves ), ce qui entraîne qu'elle est vraie ( car il y avait bien une interrogation à la clef ). Ici s'arrête la comparaison, car, dans l'énigme de l'interrogation surprise, on a un moyen de vérifier la véracité de l'énoncé : c'est là que réside toute sa subtilité, puisque l'on a ainsi réussi à fabriquer un énoncé contradictoire mais vérifiable, du moins en apparence.
En effet, le fait que l'énoncé ait l'air vérifié est trompeur : si les élèves refont leur raisonnement, ils trouveront qu'ils auraient dû prévoir le jour fatidique ...
Le même genre d'erreur apparaîtra peut-être de manière plus claire dans l'énigme suivante.
Enigme des coffrets
On vous propose l'épreuve suivante : on vous montre deux coffrets et on vous dit que dans l'un d'eux est caché un trésor ( Vous pouvez être sûr que c'est vrai ).
Vous tenez alors le raisonnement suivant : "Si la seconde inscription est vraie, alors la première est fausse. Si la seconde inscription est fausse, alors la première l'est aussi ( sinon la seconde inscription serait vraie ). Dans les deux cas, la première inscription est fausse et le trésor est donc dans le premier coffret.
Malheureusement pour vous, il s'avère que le trésor était dans le second coffret. Où est l'erreur ?
Solution
Votre erreur est d'avoir supposé que les inscriptions sur les coffrets étaient cohérentes. Or on ne vous a rien dit à ce sujet. En l'occurrence, le fait que le trésor se trouve dans le second coffret entraîne l'incohérence des inscriptions. Pour autant, on ne vous a pas menti, puisque on vous a seulement dit que le trésor était dans l'un des deux coffrets. On ne peut rien déduire des inscriptions portées par les coffrets, tant que l'on ne sait pas si elles sont cohérentes ou non.
C'est le même genre d'erreur que dans l'énigme de l'interrrogation surprise : les élèves ont mené un raisonnement juste mais ils ont juste montré l'incohérence de la déclaration faite par le professeur, et pas la fausseté d'une hypothèse ( il y aura une interro la semaine prochaine ).
Comment démontrer n'importe-quoi
Solution
La tromperie vient, dans ce genre de raisonnement, de ce que l'on utilise une proposition qui n'est pas "bien fondée", comme disent les logiciens. ( Voir à ce sujet le livre de Raymond Smullyan : Quel est le titre de ce livre ? ). Intuitivement, on peut dire qu'une telle proposition n'a pas de sens, car elle ne nous fournit aucun critère permettant de décider si elle est vraie ou fausse. On ne sait pas, pour une telle proposition, ce que veut dire "être vraie" ou "être fausse". Une proposition mal fondée ouvre la porte à toutes les contradictions. En effet, la proposition du raisonnement est du type :
A : ( A implique B )
ce qui équivaut, par définition de la relation d'implication, à :
A : non(A) ou B
C'est pour se prémunir contre de tels abus que les logiciens ne considèrent que des propositions bien fondées.
L'île des sincères et des menteurs
Dans cette île vivent deux catégories d'habitants : les sincères qui disent toujours la vérité, et les menteurs qui mentent toujours. Malheureusement pour nous, les deux catégories d'habitants sont totalement indiscernables. C'est le problème d'un jeune homme qui se demande si sa fiancée est sincère ou non, et qui aborde le frère de sa dulcinée ( sans savoir s'il est sincère, ni s'il appartient à la même catégorie que sa soeur ), dans le but de résoudre son dilemme.
Solution
Il existe une méthode systématique pour trouver la question
La table des réponses données par le frère doit donc être :
frère sincère | frère menteur | |
fiancée sincère | oui | oui |
fiancée menteuse | non | non |
En distinguant les cas où le frère ment de ceux où il dit la vérité, on en déduit la table de vérité des (bonnes) réponses à la question posée :
frère sincère | frère menteur | |
fiancée sincère | vrai | faux |
fiancée menteuse | faux | vrai |