Carrés magiques (suite)

Programme des réjouissances

Cette page propose de montrer que les carrés magiques d'ordre n, (à éléments réels) forment un espace vectoriel de dimension N = (n - 1)² - 1. Pour cela, on procède en plusieurs étapes:

L'ensemble des carrés magiques d'ordre n est un espace vectoriel

Tout d'abord, il est clair que l'ensemble des carrés magiques d'ordre n est un sous-espace vectoriel de l'espace des matrices carrées d'ordre n :

  • Si on multiplie, par un réel k quelconque, tous les coefficients d'un carré magique, on obtient un carré magique.
  • Si l'on additionne deux carrés magiques, terme par terme, on obtient encore un carré magique.

CQFD quand à la nature d'espace vectoriel.

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Tous les coefficients en fonction de (n-1)²-1 coefficients bien choisis

Montrons maintenant que la dimension de cet espace est N = (n - 1)² - 1.
Pour cela, procédons par analyse-synthèse : montrons d'abord que la donnée de N coefficients du carré, bien choisis, impose la valeur des autres coefficients. Puis vérifions que les coefficients ainsi déterminés correspondent bien à un carré

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NOTATIONS

Divisons le carré en zones de couleur, dont chacune correspond à une lettre (voir schéma).
Pour ne pas alourdir les notations, la somme des coefficients d'une zone est aussi désignée par la lettre qui correspond à la zone.
Appelons en outre:
  • t la somme des coefficients de la diagonale principale de D (celle entre a et d, exclus)
  • u la somme des coefficients de l'autre diagonale de D (entre b et c, exclus)
a v b
 
w D q
 
c   p   d

Remarque : On a pris n=5 pour le schéma ci-dessus, mais la démonstration qui suit concerne toutes les tailles n>=3.

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ANALYSE

Supposons donc que le carré est magique et que les coefficients des zones D, w et v sont connus.
Appelons S la somme des termes de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale.
Chaque terme de p est imposé de manière unique par S (puisque les termes de v et D sont connus)
Alors la somme des termes des (n-2) colonnes centrales est v+ D + p = (n - 2)S donc p = (n - 2)S - (v + D) (*).
De même, chaque terme de q est imposé de manière unique par S (puisque les termes de w et D sont connus).
Alors la somme des termes des (n-2) colonnes centrales est w + D + q = (n - 2)S donc q = (n - 2)S - (w + D) (**).
(On peut déduire ce résultat du précédent, en utilisant la symétrie par rapport à la diagonale principale).

Chercher le carré magique revient donc à trouver tous les coefficients (sauf ceux de p et q) et la somme S.

A présent, le carré est magique si et seulement si S est la somme des éléments des termes de chacun des 4 côtés, ainsi que de chacune des 2 diagonales. Une condition nécessaire et suffisante, pour que le carré soit magique, se traduit donc par le système linéaire suivant, à 6 équations pour 5 inconnues qui sont a,b,c,d et S.

Diagonale principale

: S = a + t + d

(1)

Seconde diagonale

: S = b + u + c

(2)

Première ligne

: S = a + v + b

(3)

Première colonne

: S = a + w + c

(4)

Dernière ligne

: S = c + p + d

ce qui, d'après (*), équivaut à : (3 - n)S = c + d - (v +D) (5)

)

Dernière colonne

: S = b + q + d

ce qui, d'après (**), équivaut à : (3 - n)S = b + d - (w + D) (6)

Dans la suite des calculs, on s'efforce de conserver la symétrie ( en particulier entre 3 et 4, et entre 5 et 6) par rapport à la diagonale principale.

  1. équivaut à :
 a = S - t - d (1')
donc (3) devient : d = b + v - t (3')
et (4) devient : d = c + w - t (4')
Posons (3'') = (3') + (4') et (4'') = (3') - (4').
Posons (5'') = (5') + (6') et (6'') = (5') - (6')

En particulier on a : (4") 0 = (b-c) + (v-w) (6") 0 = (c-b) + (w-v)

Les équations (4") et (6") sont équivalentes : on ne garde que (4")
On obtient ainsi un système à 5 équations et 5 inconnues, rigoureusement équivalent au précédent:
(1') a = S - t - d
S = (b+c) + u
(3'') 2d = (b+c) + (v+w) - 2t
(4'') 0 = (b-c) + (v-w)
(5'') 2(3-n)S = (b+c) + 2d - (v+w) - 2D
Dans (5"), on remplace 2d par l'expression donnée en (3") et on obtient :/
2(3-n)S = 2(b+c) - 2(t+D) (5"')
Or (2) équivaut à (b+c) = S - u
On remplace alors, dans (5"'), (b+c) par S-u, ce qui donne 2(3-n)S = 2(S-u) - 2(t+D) et, en simplifiant par 2, on obtient :
(5"") : S = (D+t+u)/(n-2)     (car n >2). (on peut alors en déduire tous les coefficients de p et de q)
(2)+(4") : S = 2b + u +(v-w) donc b = (S - u - (v-w))/2 (2')
(2)-(4") : S = 2c + u - (v-w) donc c = (S - u - (w-v))/2 (4"')

En remplaçant, dans (2') et (4"'), S par son expression dans (5""), les expressions de b et c deviennent

(2") b = 1/2 * ((D + t + (3-n)u)/(n-2) - (v-w))
(4"") c = 1/2 * ((D + t + (3-n)u)/(n-2) - (w-v))

En remplaçant, dans (3"), (b+c) par l'expression S-u (donnée par (2)), et S par l'expression donnée en (5""), on obtient : (3"') d = 1/2 * ((D + (5-2n)t + (3-n)u) / (n-2) + (v+w))

Enfin, en remplaçant, dans (1'), d par l'expression ci-dessus et S par l'expression donnée en (5""), on obtient :
(1") a = (D + t)/ (2(n - 2)) + (u - v - w) / 2

On a donc, à partir de la donnée des coefficients de D,v et w, trouvé tous les autres coefficients du carré, et ce de manière unique.

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SYNTHESE

Comme toutes les transformations faites sont réversibles (il est facile de repartir des conclusions pour revenir au point de départ), le système ci-dessous est équivalent au système de départ à 6 équations. Comme ces conditions sont nécessaires et suffisantes, le carré défini par les équations suivantes est bien l'unique carré magique correspondant aux coefficients de D, v et w. CQFD.

(1") a = (D + t)/ (2(n - 2)) + (u - v - w) / 2
(2") b = 1/2 * ((D + t + (3-n)u)/(n-2) - (v-w))
(3"') d = 1/2 * ((D + (5-2n)t + (3-n)u) / (n-2) + (v+w))
(4"") c = 1/2 * ((D + t + (3-n)u)/(n-2) - (w-v))
(5"") ``S = (D+t+u)/(n-2)``

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CONCLUSION

Comme les coefficients de D, v et w sont au nombre de (n-1)²-1, et comme on vient de montrer qu'on peut les choisir comme on veut, la dimension de l'espace vectoriel des carrés magiques d'ordre n est bien N = (n - 1)² - 1.   (retour au sommaire)

COROLLAIRES ET EXERCICES

NB : L'expression (5"") est intéressante car elle montre qu'il suffit de fixer les (n-2)² coefficients du centre du carré pour que la somme soit déterminée : elle est alors égale à la somme des termes du carré intérieur D et des termes de ses deux diagonales, divisée par son côté. Ceci permet au passage quelques exercices amusants.
Par exemple, il est impossible d'obtenir un carré magique en complétant le carré 5*5 ci-dessous avec des entiers :
         
  5 8 17  
  13 12 3  
  11 7 21  
         
En effet, supposons que ce soit possible. Alors S est une somme d'entiers donc c'est un entier.
D'autre part D=5+8+17+13+12+3+11+7+21=97, t =5+12+21=38, u=11+12+17=40 donc D+t+u = 175. Or d'après (5'') : S = (D+t+u)/(n-2). Comme (n-2)=3 et comme 175 n'est pas multiple de 3, S ne peut pas être entière, ce qui contredit l'intégrité de S. CQFD.
Variante de cet exercice : le carré ci-dessous ne peut pas être complété en un carré magique contenant les entiers de 1 à 25.
         
  15 8 17  
  11 25 22  
  12 14 1  
         

En effet, si c'était possible, alors, comme on aurait S = (1+...+25)/5 = 65. Or ici : D=115, t=41, u=54, n=5 donc d'après (5'') S=(115+41+54)/(5-2)=70, ce qui contredit S=65 CQFD.

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