Carrés magiques (suite)
Programme des réjouissances
Cette page propose de montrer que les carrés magiques d'ordre n, (à éléments réels) forment un espace vectoriel de dimension N = (n - 1)² - 1. Pour cela, on procède en plusieurs étapes:
L'ensemble des carrés magiques d'ordre n est un espace vectoriel
Tout d'abord, il est clair que l'ensemble des carrés magiques d'ordre n est un sous-espace vectoriel de l'espace des matrices carrées d'ordre n :
- Si on multiplie, par un réel k quelconque, tous les coefficients d'un carré magique, on obtient un carré magique.
- Si l'on additionne deux carrés magiques, terme par terme, on obtient encore un carré magique.
CQFD quand à la nature d'espace vectoriel.
Tous les coefficients en fonction de (n-1)²-1 coefficients bien choisis
NOTATIONS
- t la somme des coefficients de la diagonale principale de D (celle entre a et d, exclus)
- u la somme des coefficients de l'autre diagonale de D (entre b et c, exclus)
a | v | b | ||
w | D | q | ||
c | p | d |
Remarque : On a pris n=5 pour le schéma ci-dessus, mais la démonstration qui suit concerne toutes les tailles n>=3.
ANALYSE
Chercher le carré magique revient donc à trouver tous les coefficients (sauf ceux de p et q) et la somme S.
A présent, le carré est magique si et seulement si S est la somme des éléments des termes de chacun des 4 côtés, ainsi que de chacune des 2 diagonales. Une condition nécessaire et suffisante, pour que le carré soit magique, se traduit donc par le système linéaire suivant, à 6 équations pour 5 inconnues qui sont a,b,c,d et S.
Diagonale principale
: S = a + t + d
(1)
Seconde diagonale
: S = b + u + c
(2)
Première ligne
: S = a + v + b
(3)
Première colonne
: S = a + w + c
(4)
Dernière ligne
: S = c + p + d
ce qui, d'après (*), équivaut à : (3 - n)S = c + d - (v +D) (5)
)
Dernière colonne
: S = b + q + d
ce qui, d'après (**), équivaut à : (3 - n)S = b + d - (w + D) (6)
Dans la suite des calculs, on s'efforce de conserver la symétrie ( en particulier entre 3 et 4, et entre 5 et 6) par rapport à la diagonale principale.
|
a = S - t - d | (1') |
donc (3) devient : | d = b + v - t | (3') |
et (4) devient : | d = c + w - t | (4') |
En particulier on a : (4") 0 = (b-c) + (v-w) (6") 0 = (c-b) + (w-v)
(1') | a | = S - t - d |
S | = (b+c) + u | |
(3'') | 2d | = (b+c) + (v+w) - 2t |
(4'') | 0 | = (b-c) + (v-w) |
(5'') | 2(3-n)S | = (b+c) + 2d - (v+w) - 2D |
En remplaçant, dans (2') et (4"'), S par son expression dans (5""), les expressions de b et c deviennent
En remplaçant, dans (3"), (b+c) par l'expression S-u (donnée par (2)), et S par l'expression donnée en (5""), on obtient : (3"') d = 1/2 * ((D + (5-2n)t + (3-n)u) / (n-2) + (v+w))
On a donc, à partir de la donnée des coefficients de D,v et w, trouvé tous les autres coefficients du carré, et ce de manière unique.
SYNTHESE
Comme toutes les transformations faites sont réversibles (il est facile de repartir des conclusions pour revenir au point de départ), le système ci-dessous est équivalent au système de départ à 6 équations. Comme ces conditions sont nécessaires et suffisantes, le carré défini par les équations suivantes est bien l'unique carré magique correspondant aux coefficients de D, v et w. CQFD.
(1") | a = (D + t)/ (2(n - 2)) + (u - v - w) / 2 |
(2") | b = 1/2 * ((D + t + (3-n)u)/(n-2) - (v-w)) |
(3"') | d = 1/2 * ((D + (5-2n)t + (3-n)u) / (n-2) + (v+w)) |
(4"") | c = 1/2 * ((D + t + (3-n)u)/(n-2) - (w-v)) |
(5"") | ``S = (D+t+u)/(n-2)`` |
CONCLUSION
Comme les coefficients de D, v et w sont au nombre de (n-1)²-1, et comme on vient de montrer qu'on peut les choisir comme on veut, la dimension de l'espace vectoriel des carrés magiques d'ordre n est bien N = (n - 1)² - 1. (retour au sommaire)
COROLLAIRES ET EXERCICES
5 | 8 | 17 | ||
13 | 12 | 3 | ||
11 | 7 | 21 | ||
15 | 8 | 17 | ||
11 | 25 | 22 | ||
12 | 14 | 1 | ||
En effet, si c'était possible, alors, comme on aurait S = (1+...+25)/5 = 65. Or ici : D=115, t=41, u=54, n=5 donc d'après (5'') S=(115+41+54)/(5-2)=70, ce qui contredit S=65 CQFD.